「+、−、×、÷」
:
:
ー ”記号の集結” ー
の図
”4つ”
合わせて
『四則演算』ッ!
そんな話に
なりますッ!!
ー ”計算” ー
の図
”+、−、×、÷” な話
+、
(足し算)
−、
(引き算)
×、
(掛け算)
÷、
(割り算)
の
”4つ”の演算を、
『四則演算』
と
言います。
「四則演算」に
関する
＜参考リンク＞
※ 新しいタブで開きます。
今回は、
そんな
”計算”の
『アレコレ』
について
見ていきたいと
思います。
”+”と”×” な話
+、
(足し算)
は
0、
1、2、3、4、5、
6、7、8、9
の
数字を
一方から
もう一方へ、
”くわえる”
計算ですが、
その
「計算結果」
(合計値)
が、
『9』
を超える
”計算”って、
ちょっと
「面倒」
じゃないですか？
(『繰上り』がある
的に考えて。)
:
:
つまり、
”5”以上になる
『数字同士』の
「計算」
は、
”計算結果”を
『暗記』
した方が、
”計算”が早いかは
ともかく、
”結果”の
『裏打ち』
(”暗記”)
がある、
「安心感」がある
『計算』
が
出来るように
なるかもしれません。
:
:
”なんだか”
『面倒そう』
と
思うかも
しれませんが、
”5、6、7、8、9”
までの、
「5つ」の数字の
重複ありの
2つの『組み合わせ』
は、
”15コ”
(”15通り”)
しか
ありません。
”数学”の「組合せ」
についての
＜参考リンク＞
※ 新しいタブで開きます。
・重複ありの「組み合わせ」の
計算サイト
※ こちらは”重複ない”バージョン
”数学”の「組合せ」
の復習のための
＜参考リンク＞
※ 新しいタブで開きます。
・「重複組合せ」の説明のサイト
重複組合せの公式と例題（玉，整数解の個数） | 高校数学の美しい物語
※ こちらは、
”普通”の「組み合わせ」
の説明のサイト
”1～9”までの
重複ありの
「組み合わせ」
が、
『45コ』
(”45通り”)
で、
掛け算で有名な
”九九”
が、
『81コ』
の計算結果の
暗記だとすれば、
ほんの
”わずか”の
「暗記」で、
普段の使い勝手
が多い計算
(”足し算”)
で有効に使える
のは、
”便利”だと
思います。
ちなみに、
「計算結果」
(合計値)
が、
『9』以下になる、
”1～4”までの
「組み合わせ」
は、
『10コ』
(”10通り”)
になります。
こちらは、
一桁のうちで
計算がおさまる
ので、
計算する負担が
すくなく、
”楽”です。
同じ
”足し算”でも、
「楽」なのと、
『そうじゃないの』
(”大変なの”)
を、
”分けておく”
(”分けて考える”)
と、
意外なほど
「足し算」
(”計算”)
が、
『早く』なるかは
置いといて、
”楽”になります。
そして、
”5、6、7、8、9”
までの、
「5つ」の数字の
2つの『組み合わせ』
の
”15コ”
(”15通り”)
の
「組み合わせ」
は
以下になります。
＜”5”の組み合わせ＞
5 ┬ 5 → 10
├ 6 → 11
├ 7 → 12
├ 8 → 13
└ 9 → 14
＜”6”の組み合わせ＞
6 ┬ 6 → 12
├ 7 → 13
├ 8 → 14
└ 9 → 15
＜”7”の組み合わせ＞
7 ┬ 7 → 14
├ 8 → 15
└ 9 → 16
＜”8”の組み合わせ＞
8 ┬ 8 → 16
└ 9 → 17
＜”9”の組み合わせ＞
9 ─ 9 → 18
分かりやすい
数字の”5”の
計算をのぞけば、
『組み合わせ』の
数は、
「10コ」
(10通り)
にまで減りますね。
そして、
この「組み合わせ」
の結果をみると
「当たり前」ですが、
”5、6、7、8、9”
までの数字は、
『5』を起点とした
「1～4」まで
(1、2、3、4)
の『数字』となります。
つまり、
意識(認識)外で、
数字の”5”同士の
計算と、
”1～4”までの
『計算』が「楽」な
数字同士の”計算”
をしている
(”していた”)
分けです。
”奇妙”な感じですが…。
さらに、
”1～4”までの
「数字」には、
『原始的』な
面白い”特性”があって、
それについては
下記のサイトを
参照してください。
「数字」の
『原始的』な面白い
”特性”についての
＜参考リンク＞
言語がないと人間は「4」までしか数えられない – ナゾロジー
それらを
踏まえると、
10進法の
1桁同士の数値
の計算は、
”5進法”で
考えた方が
効率的で効果的
かもしれない…？
(そういう”可能性”も、
「微レ存」？)
で、
1桁同士の
計算が出来る
のであれば、
他の桁数での
同数桁同士での
計算にも使える
分けです。
そして、
”2つ”の数字の
計算ならば、
必然的に
繰り上がる数値
の上限は、
”1”になります。
”9+9”が、
「18」的に
考えて…。
つまり、
”2桁”の数字の
計算も、
1桁目が位上がりする
ような数字同士なら、
2桁目の数字に
”+1”
して考えて計算すれば、
すんなりと
計算を出せます。
また、
2桁目も、
”2つ”の数字の計算
なら、
必然的に
繰り上がる数値は、
”1”になります。
そして、
その2桁目に、
下の桁からの
位上がりがあった
としても、
2桁目の位上がりは
「2」を超えること
はありません。
”9+9”が
「18」的に
考えて…。
つまり、
2つの数字”だけ”の
計算なら、
(”計算条件”なら、)
計算は”すごい”
「シンプル」な計算
のうちに、
『とどまっている』
のです。
よって、
2桁同士の計算でも、
”2つ”の数字同士の
計算なら、
計算結果が
『3桁』以内で、
数字が「200」を
超えない、
と言う理論が生まれます。
この予想の範囲内に、
”計算結果がとどまる”
ということは、
数字の計算をする上で
『大変、気が楽』
になります。
この計算の
練習をしたい場合は、
計算結果が『3桁』
になる
可能性がある、
「2桁」同士の
”2つ”の数字
の計算問題をすると
丁度いいと思います。
このような
「計算」や『位上がり』
になれると、
それ以上の桁数での
”足し算”でも、
同じように計算が出来る
ようになるので、
計算の「早さ」は
置いておいて、
計算する際の
『安心感』は
非常にありますね。
で、
あつかえる
”計算の仕方”が
増えると、
「掛け算」にも
応用して使える
ようになります。
「掛け算」も、
行き着く計算の先は
”足し算”になります。
なので、
あの「インド」の
掛け算で有名な、
『19×19』までの
掛け算(九九)も、
暗記なしで、
比較的簡単に
”足し算”で「計算」
しながら、
答えが出せる
ようになるかも
しれませんね。
ただ、
計算するための
”数字”そのものを、
計算過程で
覚えられない
と言う方は、
下記のサイトの
「数字記憶」の記事を
見てみてください。
きっと、
”計算”に必要な
「数字」の暗記の仕方
の力となってくれる
でしょう。
＜参考リンク＞
※ 新しいタブで開きます。
記憶の宮殿を歩く | 記憶することを楽しもう！Let’s have fan!!
最後に、
計算問題のサイト
も紹介して
おきます。
計算を
試したい方は、
是非、
試してみて
くださいね。
※ あまり、
”スマホ”仕様のサイト
ではありません。
そのことを
事前にご了承ください。
＜参考リンク＞
算願(さんがん) | 算数計算PDF問題ドリルの無料ダウンロード
”−” な話
”引き算”も
面倒な計算ですね。
特に、
「位下げ」
があると
面倒に感じます。
けれども、
”これ”に対する
有効なコツも
『2つ』
あります。
1つは、
計算結果がマイナス
にならない前提で、
マイナスの付く数字
の方を”位上げ”
させて、
マイナスの方の数字を
「大きな数字」にする
方法です。
そして、
もう1つの方は、
計算結果がマイナスに
ならない前提で、
”引き算”(位下げ)
特有の特徴を
使うことです。
”位上げ”させる
(マイナスの方の数字を
「大きな数字」にする)
方法は、
たとえば、
82 – 79
みたいな
計算があった場合、
”何も考えずに”
マイナスの方の数字
の一桁目を位上げ
をして、
おおまかな
「大きな数字」に
します。
なので、
ここでは、
79 → 80
(マイナスは一時的に
取っています。)
と変えます。
それで
計算すると、
82 – 80
になる分けです。
で、
その計算結果が、
「2」になりますが、
もちろん、
このままだと
間違っています。
じゃあ、
どうするか？
それは、
マイナスの方の数字
を位上げした際に
”足した”数値を、
そのまま
さきの
計算結果(「2」)
に足します。
つまり、
「79 → 80」
とした際の
”1”を、
計算結果の
「2」に足して、
『3』にする
分けです。
そうすると、
計算の帳尻(結果)が
キレイに合うように
なります。
”なんか、
引き算の位下げ
があって、
面倒そうな計算だなぁ…”
と思ったら、
”何にも考えず”に
マイナスの方の数字を
「大きな数字」にする
と、
計算がはかどったり
しますね。
そして、
もう1つの方の、
”引き算”の
「位下げ」特有の
特徴を使う方法
の計算です。
これは、
”気付け”ば、
すごい「シンプル」
ですが、
”引き算”は
「位下げ」の特徴
のため、
一番したの桁に
なるまで、
中間にある桁の
”数値(数字)”の
「上限」が、
『9』になっています。
たとえば、
8065 － 7494
という計算が
あったとします。
このままだと
計算しづらいので、
下のように
まず変えます。
65 + 8000 － 7494
で、
この計算のなかで
特に、
8000 － 7494
の部分が
メインで重要と
なります。
計算しやすい形
にととのえたの
ですが、
”今だ”計算は
しづらいままです。
ここから
”どう”計算するか？
それは、
一桁目までの
”間の桁”
(ここでは、
3桁目と2桁目)
にある、
それぞれの数値(数字)
(ここでは、
3桁目の”4”、
2桁目の”9”)
が、
合計値で
『9』
になるような
数値(数字)
を
求めていくこと
になります。
それにより、
ここでは、
3桁目の”4”
に対して「5」、
2桁目の”9”
に対して「0」
となります。
そして、
最後の桁(一桁目)は、
”10”から引くこと
になります。
ここでは、
1桁目が”4”
なので、
10 – 4
になり、
数値(数字)は、
”6”となります。
そして、
3桁目から1桁目
までの数字を
あらためて並べる
と、
506
となります。
これが、
8000－7494
までの計算結果
となります。
その後、
分離した数値を
忘れずに足して、
65 + 506
の形にし、
計算すると、
最終的な
”計算結果”が、
571
となります。
ちょっと、
”なれない”かも
しれませんが、
「面倒な計算だな」
と思った時に、
試してみてください。
きっと、
”なめらか”に
計算することが
出来ると思います。
”÷” な話
”割り算”は、
「便利」な
計算方法が
『ない』
です。
なので
代わりに、
ちょっと
”割り算”に関係した、
「分数」の話を
したいと思います。
よくある、
〇 ÷ 1/△
が、
〇 × △/1
に
なるのは
”なんで？”
という
疑問ですが、
あれは、
〇 ÷ 1/△
の
÷ 1/△
の
部分を
÷ 1
にしよう
という
発想(考え)で、
割る方の数値(数字)が
”1”になれば、
計算結果は
シンプル(単純)に
なります。
そのため、
そうする代わりに、
ちょっと計算式を
”変える”必要
があります。
問題にあたり、
単純に、
「÷ 1/△」
の部分を、
『÷ 1』
にしようと
すると、
計算式は、
〇 ÷ (1/△ × △/1)
になります。
しかし、
これでは
式(計算)として
”いびつ”
になって、
計算結果が
間違うことになります。
そもそも
割り算する時に、
割る方の数値に
「新たに数値を掛ける」
ことは、
普通しませんよね。
これを”解消”する
には、
「割られる方」にも
『同じ分』を掛けます。
つまり、
(〇 × △/1) ÷ (1/△ × △/1)
となります。
そんなことして、
計算は合うの？
と思うかも
しれませんが、
”分数”でない
「単純」な割り算で
『同じようなこと』
をしても、
計算結果に違いが
ないことが
分かります。
＜単純な計算の例＞
49 ÷ 7 =
85 ÷ 5 =
42 ÷ 7 =
96 ÷ 2 =
そんな感じで、
分数の割り算が
”あんな風”に
なっているのが、
よく分かりますね。
基本、
”割り算”は
「何でも」
『面倒』
です。
”割り切れない”
こともあるし、
「計算」も難しい
ことが多いです。
なので、
日常的には、
”割り算”は
「数値」を割り切る
より、
『割合』として
使う(考える)方が
断然、便利です。
特に、
”1割(10%)”の考え方
は、
応用があり、
基本的に
「割合」を出したい
『数値』を一桁下に
”ズラせ”ば、
『1割(10%)』になります。
”1/10”的に
考えて…。
その「数値」に、
2倍、3倍と掛ければ、
2割(20%)、3割(30%)と
なります。
これでだいたいの、
その”数値”の「数字」での
『割合』の幅が、
体感的に理解できます。
この”数値”での、
「過半数」以下の
『3～4割』って
何？
とか、
”1割”が
「これ」だから、
2割(20%)や
5割(50%)では、
『これ』
くらいだな
など、
”立体感”を持って
数値にあたれますね。
意外と、
”割合”で語ったり、
「把握」したり
することがあります
ので、
そういう際には
便利です。
それとこちらは、
”分数”での
おもな「割合」の
数値となります。
よかったら
参考に見てみて
くださいね。
＜”分数”→「割合」表＞
1/10 → 0.1
(10%)
1/9 → 0.111111…
(11.11%)
1/8 → 0.125
(12.5%)
1/7 → 0.14285714…
(14.28%)
1/6 → 0.166666…
(16.66%)
1/5 → 0.2
(20%)
1/4 → 0.25
(25%)
1/3 → 0.3333333…
(33.33%)
1/2 → 0.5
(50%)
＜1/1.9～1/1.1の表＞
1/1.9 → 0.5263157
(52.63%)
1/1.8 → 0.555555
(55.55%)
1/1.7 → 0.588235
(58.82%)
1/1.6 → 0.625
(62.5%)
1/1.5 → 0.6666666
(66.66%)
1/1.4 → 0.71428571
(71.42%)
1/1.3 → 0.76923
(76.92%)
1/1.2 → 0.833333
(83.33%)
1/1.1 → 0.9090909
(90.90%)
参考リンク
今回では
使いませんでしたが、
”計算”に関連した
リンクも
貼っておきたいと
思います。
機会があれば、
是非、
見てみてくださいね。
”計算”に関連した
＜参考リンク＞
※ 新しいタブで開きます。
※ 再掲載、
計算問題のサイトの
＜参考リンク＞
※ 新しいタブで開きます。
算願(さんがん) | 算数計算PDF問題ドリルの無料ダウンロード
おわりに
今回は、
「+、−、×、÷」
の
計算の話を
見ていきました。
”シンプル”な
「計算」
(”四則演算”)
だからこそ、
隠された
『要素』
(”コツ”)
が、
そこには
ありました。
もちろん、
”計算”のすべてを
理解していることも、
また、
語ることも、
私には
出来ません。
しかし、
それでも、
少しでも
”計算”や「算数」、
『数学』に
興味を持って
もらえれば、
幸いです。
皆さんも
是非、
”計算”
を
してみて
くださいねッ!
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